Récurrence

Voici donc la livraison de novembre, quoique je ne m’engage nullement à un rythme de publication, quel qu’il soit. Ce quatrième volet de la Mathematica dinosaurorum est en réalité celui par lequel tout à commencé : c’est suite au profond agacement ressenti à la lecture du programme de mathématique de terminale, que j’ai commencé à écrire ces petits textes et que je me suis demandé quel statut et quels contenus ils pourraient bien avoir. Ce qui m’a agacé ? C’est de réaliser que l’on attendait des élèves qu’ils sachent rédiger un raisonnement par récurrence, sans que ce raisonnement s’appuie sur une propriété dûment énoncée des entiers naturels. Entendons-nous bien :

1. Je n’ignore pas que dans le fond, ça n’est pas nouveau.
2. Je sais aussi que, lorsque l’on fait un raisonnement par l’absurde, on ne se demande pas sur quoi s’appuie cette forme de raisonnement et on ne s’attend pas non plus à ce que les élèves se posent la question.
3. Je ne jette la pierre à personne et je sais bien que tout cela n’a pas une si grande importance.
4. Je ne prétends pas avoir absolument raison. Disons que je livre un sentiment personnel.

En tout cas, je pense que le cas du raisonnement par récurrence est particulier, dans la mesure où (et de ce côté les programmes ne sont pas ambigus) il constitue un objet d’enseignement à part entière ; et d’ailleurs l’usage est de signaler explicitement la mise en place d’un tel raisonnement, et d’attendre des élèves qu’ils se conforment à cette pratique, alors qu’il est rare de formuler ce genre d’attente pour un raisonnement par l’absurde ou par disjonction des cas. Peut-être ai-je tort, mais je pense donc qu’il devrait y avoir dans un cours de terminale un énoncé (théorème, proposition, principe… peu importe) qui fonde ce type de raisonnement et qui, en quelque sorte, le légitime.

Je ne suis pas non plus trop pointilleux : peu m’importe qu’un rédacteur, professeur ou élève ou mathématicien du dimanche soir, mentionne explicitement une propriété du cours pour justifier sa récurrence. Le mot « récurrence » suffit en réalité pour que le lecteur que je suis y comprenne quelque chose et au-delà, chacun peut bien rédiger comme il le souhaite, avec une clarté minimale, s’entend.

Je propose donc ici un point de vue qui consiste à établir un théorème de récurrence à partir d’un résultat admis (un axiome en fait) qui est celui du bon ordre. D’autres organisations sont bien entendu possibles, l’essentiel étant qu’un écrit de référence (cours du professeur éventuellement, mais manuel scolaire de toute façon), devrait formuler explicitement un énoncé fondateur du raisonnement par récurrence.

On trouvera donc en téléchargement, un document assez court (plus que les précédents) consacré à cette étude. Plusieurs formats sont proposés, comme d’habitude, mais en moins grand nombre, car je compte maintenant rationnaliser et simplifier les productions des dinosaures.